Since it was permitted for a need - מתוך שהותרה לצורך
Summary:
The היתר of מתוך is only if it is לצורך (הנאת) היום (even if it is not לצורך שמחת היום according to the ר"י) or לצורך קיום מצוה ביו"ט. The laws of ע"ח apply to יו"ט as well and we are not permitted to carry לצורך נכרי.
But now it should be permitted to make Mugmor on Yom Tov - אלא מעתה יהא מותר לעשות מוגמר ביום טוב
Summary:
Either רב פפי assumed that ב"ה maintain אין עירוב והוצאה ביו"ט, or he assumed that מתוך is only by something which is common but not by בעילה ומוגמר.
He said to him; ‘I said something which is necessary for all people, and a deer is necessary for all people’ - אמר ליה אנא דבר הצריך לכל נפש קאמינא וצבי צריך לכל נפש
Summary:
בעילה ראשונה (which is a בעילת מצוה) is certainly a צורך מצות היום (as opposed to שאר ביאות). We do not allow מלאכות which are only מכשירי אוכל נפש (and certainly do not say מתוך by such מלאכות which are מכשירין, such as כבוי הנר for ד"א).
